Lineare Algebra Beispiele

$(- 5 x + y) = - 5$ , $(6 x - 2 y) = 10$

Schritt 1

Ermittle $A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} - 5 & 1 \\ 6 & - 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ 10 \end{array}]$

Schritt 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 5 \cdot - 2 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$10 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$10 - 6$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$4$

Schritt 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ - 6 & - 5 \end{array}]$

Schritt 2.5

Multipliziere $\frac{1}{4}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot - 2 & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2 & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 (2)} \cdot - 6 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 3) & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 3) & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.6.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \cdot - 3 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{- 3}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 5 \end{array}]$

Schritt 2.6.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & \frac{- 5}{4} \end{array}]$

Schritt 2.6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{5}{4} \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Matrizengleichung von links mit der inversen Matrix.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{5}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 5 & 1 \\ 6 & - 2 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{5}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 5 \\ 10 \end{array}]$

Schritt 4

Jede Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ist immer gleich $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{5}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 5 \\ 10 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{5}{4} \end{array}] [\begin{array}{c} - 5 \\ 10 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Schritt 5.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{4} \cdot 10 \\ - \frac{3}{2} \cdot - 5 - \frac{5}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Schritt 5.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache die linke und rechte Seite.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \end{array}]$

Schritt 7

Ermittle die Lösung.

$x = 0$

$y = - 5$